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Mathématiques Financières
Responsable : N. Touzi, Professeur à l’École Polytechnique.
- Membres de l’équipe
- Activités de recherche
Jocelyne Bion-Nadal, Chargé de recherche CNRS
Patrick Cattiaux, Professeur à l’Université de Nanterre
Rama Cont, Chargé de recherche CNRS.
Randal Douc, Professeur chargé de cours à l’École Polytechnique
Nicole El Karoui, Professeur à l’École Polytechnique.
Carl Graham, Chargé de recherches CNRS
Caroline Hillairet, Maître de Conférences à l’Ecole Polytechnique
Christian Léonard, Professeur à l’Université de Nanterre
Sylvie Méléard, Professeur à l’Ecole Polytechnique
Nizar Touzi, Professeur à l’Ecole Polytechnique
Valdo Durrleman, Professeur chargé de cours à l’Ecole Polytechnique
Doctorants encadrés au laboratoire
Romain Deguest,Oct 2005, Problèmes inverses mal posés : approches statistiques et applications en finance
Céline Labart, Oct 2004,Méthodes de Monte Carlo séquentielles en controle stochastique
Asma Meziou, Oct 2002, Assurance de portefeuille et dominance stochastique
Moeiz Rouis, Oct 2002, Problèmes inverses en finance et calibration de modèle
Emily Tanimura, Oct 2003, Modèles d’interactions sociales
Ying Jiao, Oct 2003, Évaluation, couverture et gestion du risque de crédit
Mohamed M’rad, Oct 2005,Equations stochastiques rétrogrades réflechies et mesures de risque.
Doctorants encadrés en dehors du laboratoire
Nicolas Cazanave, Contrat CIFRE Coface, Oct 2001, Risque de crédit à l’interface de la finance et de l’assurance.
Julien Hok, Contrat CIFRE PriceWaterHouseCoopers, Avril 2003, Impact de l’incertitude de l’information sur la volatilité des marchés financiers.
David Nicolay, Cadre de l’École Polytechnique, Oct 2002, Calibration et couverture de produits dérivés.
Daniel Bloch, Modèles stochastiques de volatilité (inscription à Paris VI).
Emmanuel Gobet a obtenu un poste de Professeur à l’Université de Grenoble
Stéphane Menozzi a soutenu sa thèse en 2005 et a obtenu un poste de MdC à l’Université Paris 7
Sylvie Roelly est Professeur à Potsdam depuis 2003, mais demeure en détachement du CNRS.
Peter Tankov a soutenu sa thèse en 2004 et a obtenu un poste de MdC à l’Université Paris 7
Ekaterina Voltchkova a soutenu sa thèse en 2005, et est actuellement en Post-Doc à l’ETH.
Alexandre Popier a obtenu un poste à l’Université du Maine.
Activités de recherche
L’équipe effectue et étudie la modélisation aléatoire de phénomènes complexes, issus entre autres de la physique, des télécommunications, et de la finance. L’aléatoire intervient aussi bien de façon fondamentale que pour tenir compte des incertitudes et de la complexité du modèle. Des techniques stochastiques de pointe sont utilisées en conjonction avec des méthodes issues d’autres branches des mathématiques, et s’appuient sur un fort investissement dans la physique ou la réalité économique du problème.
Adaptable et collant de très près aux modèles, le point de vue probabiliste permet d’obtenir des résultats souvent hors de portée des méthodes déterministes et propose un cadre unificateur naturel. Il nous fournit une palette d’outils théoriques variés, comme les théorèmes limites, les grandes déviations, l’optimisation stochastique, les problèmes de martingales non-linéaires, les arbres et graphes aléatoires, le calcul de Malliavin, et le couplage. Il permet de mettre au point des méthodes numériques efficaces de type Monte Carlo avec des taux de convergence et des intervalles de confiance sur les résultats.
Une liste non exhaustive des activités principales de l’équipe suit, regroupée avec beaucoup d’arbitraire parfois autour des thèmes modèles aléatoires, finance et méthodes numériques et statistique.
Activités plus orientées autour des modèles aléatoires
P. Cattiaux et un élève, Nathael Gozlan, se sont intéressés au principe conditionnel de Gibbs pour des ensembles super-rares. Il s’agit de montrer que des lois des grands nombres ont lieu, conditionnellement à des suites d’événements de probabilités tendant vers 0. Ces résultats nécessitent l’utilisation de bornes explicites (non asymptotiques) dans le théorème de Sanov, obtenues soit à partir d’inégalités de concentration, soit en reprenant directement la preuve de Cramér. La calibration des diffusions introduite par Avellaneda et ses élèves, fournit un excellent exemple d’application, pour lequel une justification théorique à l’empirisme de l’approche proposée est obtenue. Gozlan a également obtenu des résultats similaires dans le cadre des méthodes MEM, introduisant l’utilisation des résultats de Bobkov et Götze sur le transport T1. Les techniques de transport semblent être une alternative très intéressante aux inégalités de concentration traditionnelles (Bernstein etc...)
Christian Léonard s’intéresse aux liens entre grandes déviations et analyse convexe. Beaucoup de principes de grandes déviations admettent des fonctionnelles intégrales convexes pour fonctions de taux. Les lois des grands nombres conditionnelles qui leurs sont associées font intervenir le problème de la minimisation de ces fonctionnelles sous contraintes. Indépendamment du contexte probabiliste dont elle est issue, à l’aide de techniques d’analyse convexe, d’analyse fonctionnelle et de la théorie des espaces d’Orlicz, la minimisation sous contraintes convexes des fonctionnelles intégrales convexes est étudiée. En particulier, la caractérisation des minimiseurs (limites des lois des grands nombres conditionnelles) est obtenue en grande généralité. Ces résultats permettent d’élucider certains phénomènes surprenants et d’améliorer des preuves déjà existantes dans les domaines suivants : principes conditionnels de Gibbs, projections généralisées de Csiszár et points dominants (Ney, Kuelbs).
Depuis peu, C. Léonard s’intéresse aux liens entre les grandes déviations de systèmes de particules et le transport.
Dans le domaine des inégalités de transport (comparaison de coût de transport et d’entropie relative), en collaboration avec N. Gozlan il a introduit un nouveau formalisme permettant d’obtenir une famille générale d’inégalités de transport à l’aide de grandes déviations de systèmes de particules. Ils retrouvent et étendent ainsi des travaux de Bobkov et Götze avec des conséquences intéressantes en termes d’inégalités de concentration. On peut espérer que cette approche pourra se généraliser à d’autres types d’inégalités fonctionnelles.
Dans le domaine du transport optimal, C. Léonard a montré que certains systèmes de particules aléatoires en mouvement obéissent à des principes de grandes déviaitions dont la fonction de taux est précisément un coût de transport optimal. Outre le fait de donner une nouvelle interprétation du transport optimal et de retrouver tous les résultats d’optimalité connus, cette approche de type mécanique statistique permet d’obtenir des résultats nouveaux. Entre autre, une notion de plan optimal "entropique" est introduite et on construit une procédure d’approximation de type viscosité evanescente des plans de transport entropiques par des ponts de Schrödinger. Un outil important est la [IMAGE png]-convergence des fonctions de taux des systèmes de particules vers la fonctionnelle de transport optimal.
Dans la perspective de ces travaux liant grandes déviations et transport optimal, C. Léonard a récemment étudié les grandes déviations de systèmes à deux indices. La [IMAGE png]-convergence des fonctions de taux est un ingrédient essentiel. Il obtient ainsi des résultats nouveaux au sujet de l’approximation exponentielle de PGD et de l’homogénéisation de processus.
Dans un travail en cours basé sur cette approche à deux indices, de nouveaux résultats sur les grandes déviations des mesures empiriques à poids aléatoires (Maximum d’Entropie en Moyenne, coarse-graining) sont obtenus. En particulier, C. Léonard améliore significativement les résultats obtenus par R.S. Ellis et ses collaborateurs au sujet de l’approche par les grandes déviations de la turbulence en dimension 2. Il obtient aussi une généralisation des résultats de Gamboa et Gassiat au sujet des grandes déviations de mesures empiriques à poids aléatoires. Cette généralisation est un outil qui intervient de manière importante dans ses travaux en cours en collaboration avec Rama Cont au sujet de la calibration de modèles en finance.
Le transport et ses liens avec les grandes déviations d’une part et les inégalités fonctionnelles d’autre part est au coeur des préoccupations actuelles de ce groupe et du projet ANR IFO (avec Bolley, Gentil, Guillin, Villani, Wu).
Les inégalités fonctionnelles ont déjà été évoquées plus haut lors de la présentation du travail de C. Léonard concernant les inégalités de transport.
Patrick Cattiaux s’intéresse de façon productive à cette thématique depuis trois ans. Remarquant que la forme de Dirichlet (carré du champ) d’un générateur de diffusion est une sorte de projection de l’entropie calculée sur les trajectoires, il a montré comment certaines inégalités célèbres (log-Sobolev, trou de spectre, une version faible de Blachmann-Stamm) découlent aisément de leur version robuste (c’est à dire vraie pour toute diffusion) moyennant des propriétés d’``hyper-continuité’’. Il s’est également intéressé à des versions plus faibles (weak spectral gap) introduites par Röckner et Wang et étudiées par Aida, Gong, Hino, Wu, etc. Ces résultats sont parus dans Potential Analysis, puis ont été complétés dans le cadre des diffusions dans un article aux Annales de Toulouse. Des critères perturbatifs explicites y sont en particulier obtenus.
En collaboration avec Franck Barthe (Toulouse) et Cyril Roberto (Marne la Vallée), P. Cattiaux a ensuite développé un arsenal conséquent d’outils permettant de mieux comprendre le comportement sous exponentiel et sous gaussien des mesures. Deux articles sont publiés ou acceptés. L’article à AMRX traite du cas sous exponentiel fournissant la concentration optimale pour les mesures produits. Le gros article (80 pages) à la Revista étudie en détails (Orlicz hyper continuité, concentration, F-Sobolev, isopérimétrie) les cas intermédiaires entre exponentielle et gaussienne. Les techniques y sont tout aussi bien probabilistes (importées des articles de Cattiaux) que plus analytiques, en particulier les critères en termes de relations capacité et mesure introduits par Mazya, et remarquablement développés par Barthe et Roberto, démontrent tout leur potentiel. Un troisième article dédié à l’isopérimétrie est en phase finale de relecture (par l’un des auteurs) et sera prochainement soumis.
D’un autre coté, il a entamé une collaboration avec Arnaud Guillin (Paris 9) sur les inégalités de transport T2, obtenant des contre exemples génériques prouvant que celle ci n’entraine pas log-Sobolev. Ce travail est en cours de révision.
Plusieurs autres projets de collaboration sont en cours. Avec Malrieu (Rennes) et Guillin sur le transport (T1 cette fois) et les edp non linéaires, étendant les résultats de Malrieu aux cas non uniformément convexe. Ce travail vient compléter (grace à sa vision particulaire) les travaux de Villani, Mac Cann et Carillo (Adavances). Ce travail est en phase finale de rédaction. Avec Gentil et Guillin (soumis) c’est de lètude des versions affaiblies de log-Sobolev et leurs conséquences pour la décroissance non exponentielle de l’entropie qu’il s’agit. Avec Guillin encore (bientot soumis) aux inégalités de déviations non asymptotiques pour les fonctionnelles additives.
Enfin P. Cattiaux et un autre élève de thèse, P.A. Zitt, étudient des modèles de type mécanique statistique. Des résultats de recuit simulé sans trou de spectre sont obtenus (bientot soumis), ainsi que de nouveaux résultats sur la non transition de phase en cours de développements.
Grands réseaux de communication
Les réseaux de communication forment des ensembles complexes de ressources - processeurs, mémoires, fibres optiques, commutateurs ...- assemblées selon une structure de graphe. Les tâches à effectuer nécessitent plusieurs ressources simultanément. Des algorithmes rapides et délocalisés doivent gérer ce partage de ressources. Le comportement porte sur des espaces gigantesques, et l’étude requiert des approximations appropriées.
Le plus souvent on ne dispose d’aucune formule et peu d’information sur les lois invariantes. C’est ainsi pour un réseau introduit par Vvedenskaya, Dobrushin et Karpelevich, qui comporte [IMAGE png] files d’attente illimitées à serveur unique, les clients arrivant à taux proportionnel à [IMAGE png], choisissant chacun [IMAGE png] files uniformément et allant à la plus courte. Ils avaient obtenu une loi des grands nombres fonctionnelle pour des conditions initiales satisfaisant une loi des grands nombres, puis un résultat à l’équilibre montrant que la proportion de files de taille dépassant [IMAGE png] décroît sur-exponentiellement avec [IMAGE png].
Carl Graham a d’abord étendu cette étude à des résultats de chaoticité et de loi de grands nombres sur l’espace des trajectoires. Il vient d’obtenir un théorème limite central fonctionnel à l’équilibre. Il s’agit de justifier par une méthode de compacité-unicité une interversion de limites du type [IMAGE png]. Le contrôle des lois invariantes utilise l’ergodicité et une étude fine des comportements en temps long du système dynamique non-linéaire qui décrit la limite loi des grands nombres, utilisant l’existence d’un trou spectral pour certains opérateurs liés à sa linéarisation autour de son point stable et des comparaisons originales et techniques.
C. Graham entreprend l’étude des grandes déviations pour ce réseau. Il commence aussi l’étude en régime ``heavy load’’ ou ``heavy traffic’’ (charge ou trafic lourds) d’un modèle apparenté de type réseau de Jackson conditionné à l’état du réseau, où l’on modifie les paramètres dès que certaines files sont sous certains seuils. Physique statistique et problèmes non-linéaires
Les équations cinétiques non-linéaires de la mécanique statistique proviennent par passage à la limite d’une description microscopique des interactions. Une notion fondamentale est la chaoticité : à la limite, les particules deviennent indépendantes ; elles suivent en revanche une dynamique non-linéaire. Les outils probabilistes permettent de construire les trajectoires des particules et de leurs limites, ce qui apporte un point de vue adaptable et proche du modèle initial.
Ce domaine de recherche est en pleine expansion actuellement aussi bien du point de vue théorique qu’appliqué, d’où la création du GdR GRIP. Les recherches se portent sur des problèmes difficiles autour des équations de la physique des gaz raréfiés (Boltzmann, Fokker-Planck-Landau, Navier-Stokes ...) et des équations de même type comme celle de coagulation-fragmentation de Smoluchowski, non spatialement homogènes. Les résultats seront obtenus par la conjonction de méthodes variées probabilistes et analytiques.
Les probabilités libres constituent une extension de la théorie des probabilités aux espaces non commutatifs. Cette extension a d’abord été introduite par D. Voiculescu. De nombreuses notions de probabilité ont une extension au cadre des probabilités libres. En particulier le mouvement brownien libre qui peut être vu comme une limite assymptotique de matrices de mouvements browniens usuels. Dans le but de développer un calcul stochastique dans le cadre des probabilités libres Biane et Speicher ont montré une formule d’Ito.
J. Bion-Nadal a démontré une propriété des mouvements browniens libres qui s’apparente au théorème de Girsanov. La démonstration de cette propriété utilise le modèle assymptotique des matrices aléatoires et nécessite le développement d’un procédé de renormalisation.
Activités plus orientées autour de la finance
Comportements collectifs et interactions sociales
De nombreux phénomènes socio-économiques sont le résultat de comportements collectifs résultant de l’interaction entre un grand nombre d’individus ; il en va ainsi du comportement statistique de variables agrégées dans un marché mais aussi de la propagation de rumeurs, des comportements de consommation de masse, ... Des travaux récents ont vu émerger une approche de modélisation de ces phénomènes, inspirée de la physique statistique, qui est intermédiaire entre celle de la microéconomie, où l’interaction se fait via le système de prix, et celle de la théorie des jeux, où l’interaction est de nature stratégique. L’objectif est ici d’obtenir le comportement de variables macro-économiques par agrégation de comportements individuels et le cadre mathématique de cette procédure d’agrégation est celle de théorèmes limites probabilistes pour des systèmes de particules en interaction.
Rama Cont et M. Loewe (Münster, Allemagne) ont étendu des travaux précédents d’économistes sur l’agrégation de comportements économiques individuels hétérogènes dans un cadre probabiliste, permettant des structures d’interactions aléatoires entre agents.
La thèse d’Emily Tanimura explorera le lien entre cette modélisation probabilitste des intéractions sociales et la théories des jeux à information incomplète. Les travaux de Julien Hok s’insèrent également dans ce thème. Un sujet connexe est la modélisation des réseaux sociaux, qui a connu un regain d’intérêt depuis quelques années avec l’avénement des modèles ``small world’’, familles de graphes aléatoires aux propriétés intermédiaires entre les graphes Erdôs-Renyi et les réseaux réguliers. R.Cont et E.Tanimura ont proposé un modèle stochastique, qui possède une interprétation économique, pour la genèse de ce type de réseau et ont étudié diverses propriétés probabilistes de ce modèle.
Ce thème fait l’objet d’une collaboration avec H. Berestycki à l’École des Hautes Études en Sciences Sociales. Un groupe de travail commun a commencé en Janvier 2003. Mesures de risque et pricing non linéaire La prise en compte de l’incomplétude des marchés est un élément essentiel de la recherche théorique et appliquées actuelle. La question initiale était celle du prix d’un produit dérivé. Basée sur des techniques d’optimisation, des notions comme le prix de super replication, ou le prix d’indifférence relatif à un critère d’utilité ont fait l’objet de nombreux travaux. Par ailleurs, motivées par l’introduction des nouvelle normes réglementaires de calcul de fonds propres par l’intermédiaire de la Value at Risk, de nombreux travaux ont été développés sur le thème des mesures de risque monétaires, notamment par Artner, Delbaen, Eber, puis par de nombreux auteurs dont Föllmer et Schied. Il est important d’étudier les marchés financiers dans un contexte d’incertitude, sans spécifier a priori de probabilités, pour pouvoir rendre compte de modélisation de la volatilité par exemple. Dans ce contexte, J.Bion-Nadal a défini une notion de mesure de risque conditionnelle, afin de prendrer en compte par exemple une situation d’information partielle. Cette notion généralise la notion de mesure de risque monétaire de Foêllmer et Schied et possède également des propriétés de type espérance conditionnelle (mais pas la linéarité) ; Les mesures de risque conditionnelles admettent une représentation en termes de mesures de probabilité conditionnelles et de fonction de pénalité. La preuve utilise des outils de théorie de la mesure et d’analyse convexe. La composition de mesures de risque conditionneles conduit alors à la notion de mesure de risque dynamique. La théorie du pricing non linéaire a été développée dans plusieurs directions par les membres de l’équipe.
Dans une problématique de calibration, Rama Cont a introduit une notion de mesures de risque de modèle, basée sur la minimisation de la distance entre les prix théoriques et les prix observés dans le marché.
Jocelyne Bion-Nadal a mené une approche systématique du pricing d’un produit dérivé dans un contexte général d’incertitude, en associant à chaque intrument financier un prix acheteur et un prix vendeur, compatibles avec les prix acheteurs-vendeurs observés pour des instruments de référence (en nombre fini) sur le marché. Tenant compte du manque de liquidité et de l’intérêt de la diversification, elle montre qu’une fonction de prix acheteur est l’opposé d’une mesure de risque convexe, et montre que la condition de compatibilité avec les données de marché fournit une condition nécessaire et suffisante sur les fonctions de pénalité. Elle démontre également que l’existence d’une fonction de prix s’exprimant à partir de l’enveloppe convexe d’une famille donnée de mesures de probabilités est équivalente à une notion de type non arbitrage, plus fine que la notion habituelle.
N.El Karoui et P.Barrieu ont utilisé les mesures de risque pour définir le transfert optimal de risque non négociable entre deux agents. Il s’agit alors de définir la règle de pricing, et le flux optimal à transférer. La théorie classique du prix de réserve peut se réinterpréter dans ce contexte comme l’échange optimal d’un portefeuille de couverture, au regard d’une mesure de risque. L’outil essentiel est l’inf convolution des deux mesures de risque convexe. Sous certaines hypothèses on peut montrer et caractériser le prix et le flux optimal à transférer. Un article de synthèse des mêmes auteurs sur les prix d’indifférence, le transfer optimal et l’inf convolution a été rédigé pour un ouvrage sur le thème édité par Carmona. Il reprend de manière plus systématique les résultats précedents, et les étend au cadre dynamique par l’intermédiaire des équations stochastiques rétrogrades, pour lesquelles l’inf-convolution des mesures de risque peut se ramener à l’inf-convolution des coefficients définissant ces EDSR.
Avec Claudia Ravanelli, la condition de cash invariance est revisitée, de manière à prendre en compte l’ambiguité sur les taux d’intérêt.
Décomposition max-plus des processus, options américaines et optimisation sous contrainte
Une vaste classe de problèmes de finance est réliée à l’optimisation sous contrainte sur la valeur de la richesse, soit en présence de salires, soit en présence de consommation cummulée. Avec J.Jeanblanc et V.Lacoste, nous avons donné une solution à un problème d’assurance de portefeuille qui garantit qu’à toute date on peut sortir d’un fond avec une part de son capital garanti. La solution est étroitement liée à la résolution d’une famille d’options américaines. Plus généralement, notamment avec Asma Meziou, nous avons étudié la décomposition des processus à l’aide du maximum glissant d’un indice. On montre (Meziou) en particulier que toute surmartingale admet une décomposition de ce type, ( qui s’interprète aisément dans l’algèbre Max-Plus) qui permet de résoudre différents problèmes d’optimisation, options américaines, optimisation de martingales pour l’ordre convexe...D’autres décompositions du même type ont permis de résoudre des problèmes d’optimisation de consommation dépendant du passé (Bank) ou de contribuer à une théorie du potentiel non-linéaire (Föllmer). Le thème de l’arrêt optimal est récurrent dans nos préoccupations et a fait l’objet du cours à l’Ecole Normale Supérieure de Pise.
Problèmes inverses en finance et calibration de modèle
Alors que la théorie des options vise avant tout l’évaluation et la couverture des produits dérivés connaissant l’évolution aléatoire des variables de marché (sous-jacents), l’implémentation de ces modèles implique d’abord d’estimer les paramètres des modèles stochastique à partir des données de marché (prix d’options). Ce problème de la calibration du modèle aux données de marché est le problème inverse de celui de l’évaluation des options est préliminaire. En termes mathématiques, il s’agit d’un problème mal posé qui peut ne pas avoir de solution, en avoir une infinité et la correspondance (théorique) entre les données et la solution peut être instable (discontinue). Des exemples de ce type abondent en finance : construction de courbes de taux d’intérêt à partir des obligations, obtention des surfaces de volatilité locale à partir de prix des options, calibration de matrices de covariance de taux d’intérêts à partir de prix de caps, floors et swaptions, inférence de processus comportant des sauts. Le problème principal consiste à surmonter le caractère mal posé du problème et obtenir des méthodes numériques stables.
Notre équipe a exploré de nombreuses facettes théoriques et algorithmiques de ces problèmes inverses. David Nicolay étudie ce problème via les techniques de mesures de risques ou maximisation d’utilité, alors qu’Alexandre d’Aspremont avait utilisé des méthodes de programmation semi-définie positive. Les mêmes problèmes se posent dans les dérivés de crédit avec l’identification du processus d’intensité. Yin Jao avec Nicole El Karoui et Monique Jeanblanc étudient les liens struturels entre intensité globale et intensité locale. Avec V.Durrleman(Stanford), le lien entre copule et corrélation locale est étudié dans la même cohérence.
Rama Cont et Peter Tankov ont développé un algorithme de régularisation par entropie relative pour l’identification non-paramétrique de modèles de diffusion avec sauts à partir de prix d’options.
R. Cont et S. BenHamida ont développé une approche statistique du problème inverse en utilisant des algorithmes évolutionnaires.
R Cont et C Léonard ont développé une approche probabiliste fondée sur la minimisation d’entropie relative dans l’espace des paramètres du modèle. La thèse de R Deguest va explorer de nouveaux problèmes théoriques liés .
R Cont travaille en collaboration avec la société Finance Concepts pour développer une boîte à outils numériques.
Processus de sauts et applications en finance
L’insuffisance des modèles de diffusion en finance face aux observations empiriques a suscité de nombreux travaux de recherche sur des processus stochastiques à trajectoires discontinues, dits ``processus de sauts’’, qui permettent de mieux modéliser les risques associés aux variations soudaines des prix de marché. De nombreuses questions restent ouvertes notamment concernant l’implémentation numérique de ces modèles, à la fois pour l’évaluation des options et pour la calibration des modèles aux données de marché.
Nous nous sommes intéressés à différents aspects : constructions de modèles multidimensionnels, lien avec les équations integro-differentielles, méthodes numériques, problèmes inverses. Rama Cont et Peter Tankov ont écrit une monographie sur ce sujet, parue en 2003. Les thèses de Ekaterina Voltchkova et P. Tankov ont trait aux méthodes numériques, les aspects multidimensionnels et les problèmes inverses dans ce cadre.
Travaux motivés par les Méthodes de Monte Carlo et l’estimation statistique
Équations stochastiques rétrogrades
Les équations stochastiques rétrogrades sont des outils bien adaptés aux problèmes de la finance car elles généralisent au cas non markovien la notion de solution d’équations aux dérivées partielles non linéaires. Une longue collaboration a été amorcée sur ce thème par Nicole El Karoui avec M. C. Quenez (Marne La Vallée) et S. Peng (Université de Shandoung, Chine). Sur le plan théorique, on les retrouve au coeur de la modélisation des mesures de risque dynamiques, qui conduisent à une étude plus systématique des équations à croissance quatratique, notamment dans l’espace des martingales BMO (Cazanave, Barrieu, El Karoui). Les BSDE’s rééflechies sont aussi en liaison étroite avec le contrôle stochastique et l’arrêt optimal. Un point de vue nouveau est proposé dans l’article avec V.Bally et coauteurs. Par ailleurs, avec S.Peng de Shandoung Univeersity, nous travaillons sur les liens entre l’inf-convolution et la condition de domination qui apparaît naturellement dans la définition des [IMAGE png]-expectations. Les travaux de E. Gobet et alii, exposés ci-dessous donnent des voies nouvelles pour trouver des méthodes de résolution numériques efficaces.
Les méthodes de Monte Carlo offrent une approche souple et efficace pour résoudre certains problèmes en moyenne et grande dimension. Notamment en finance, la détermination des prix des options se ramène en général au calcul d’espérances. Les fonctionnelles à simuler peuvent être assez complexes et des simulations naïves ne donnent pas de résultats satisfaisants. Emmanuel Gobet s’est intéressé à ces questions, notamment pour des problèmes où les processus sont amenés à vivre dans un domaine prédéterminé. Des schémas de simulation appropriés ont été construits et analysés : ils permettent d’obtenir des vitesses de convergence optimales en terme d’erreur de discrétisation.
Par ailleurs, lorsqu’on s’intéresse à l’impact d’une erreur de modèle sur les espérances qu’on cherche à évaluer, une analyse desensibilité est nécessaire : il est avantageux en général de récrire ces sensibilités sous forme d’espérance qu’on peut évaluer de nouveau par Monte-Carlo. Des questions analogues se posent pour le calcul de couverture de prix d’options où des dérivées d’espérance sont à calculer. Plusieurs travaux associant E. Gobet, R. Munos et A. Kohatsu-Higa ont permis de proposer de nouveaux estimateurs de sensibilité ou de couverture, qui se révèlent efficaces en pratique.
Ces questions de sensibilité sont aussi cruciales lorsqu’on considère la résolution de problème de commande optimale via la recherche d’une bonne commande dans un espace paramétré (approche qui peut se révéler plus efficace que résoudre directement l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellmann). Des travaux en cours développent ces aspects là sur des problématiques importantes en finance, comme la valorisation des options Swing (contrat d’approvisionnement propre au marché du gaz naturel).
Les problèmes d’arrêt optimal se traduisent en termes d’inéquation variationnelle, également difficile à résoudre, dès que la dimension du système dépasse 1 ou 2. Comme pour la commande optimale, une méthode alternative peut consister à chercher plutôt une stratégie d’arrêt approchant l’optimalité. La clé de voûte repose sur la détermination des sensibilités des coûts espérés par rapport à la stratégie d’arrêt. Un travail avec C. Costantini, N. El Karoui et E. Gobet apporte des réponses à cette analyse de sensibilité. Des travaux sont en cours pour l’application à l’évaluation d’options américaines. Dans un domaine complétement différent, Ying Jao et Nicole El Karoui travaillent sur des méthodes d’approximations de la distribution des pertes d’un pool d’entreprises, en utilisant la méthodes de Stein. Une correction du premiere ordre pour améliorer la convergence vers des distributions gaussiennes est donnée explicitement.
Emmanuel Gobet considère une classe de problèmes d’estimation de processus. À partir de l’observation d’un processus continu à des instants discrets, il s’agit ici de retrouver sa loi, en identifiant par exemple les coefficients qui régissent sa dynamique. Des résultats d’optimalité asymptotique (propriétés LAN et LAMN) ont été obtenus par E. Gobet dans le cas d’équations différentielles stochastiques dépendant d’un paramètre, lorsque la fréquence d’échantillonnage tend vers 0. Dans un cadre non paramétrique avec observations en basse fréquence, E. Gobet, M. Hoffmann et M. Reiss ont établi des vitesses d’estimation exactes, qui sont non standard et s’interprètent comme celles de problèmes inverses mal posés.
Une autre classe de modèles, utilisés dans des domaines aussi divers que le traitement du signal, la statistique liée aux génomes ou les mathématiques financières, est constitué par des modèles à données latentes (ou non observées) tels que les chaînes de Markov cachées ou les modèles auto-régressifs à régime markovien. La difficulté pour l’estimation vient de ce que la loi de probabilité des observations est décrite comme une loi marginale associée à des grandeurs non observables. Dans ce cadre, Randal Douc s’est intéressé à des propriétés d’identifiabilité, de consistance et de normalité asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance dans le cas où l’espace des états cachés n’est pas nécessairement fini. D’un point de vue plus applicatif, il a aussi porté ses efforts sur l’étude des propriétés de convergence d’algorithmes d’estimations stochastiques de type MCMC ou MCEM.
Dans ces modèles, les variables cachées se comportent conditionnellement aux observations comme une chaîne de Markov inhomogène. Des résultats précis sur des bornes explicites de convergence géométrique pour des chaînes de Markov inhomogènes ont déjà été obtenus et permettent une connaissance non asymptotique de l’oubli de la condition initiale pour la chaîne de Markov. Dans des cas d’absence de trou spectral, un critère simple impliquant une seule condition de drift a été proposée et permet à travers des techniques de couplage d’exhiber des convergences explicites à taux sous-géométriques, non nécessairement polynomiaux.
D’un point de vue pratique, la distribution des variables cachées conditionnellement aux observations n’étant pas connue, les techniques liées au filtrage particulaire permettent à travers différentes étapes de sélection-mutation de faire évoluer une population de particules dont la répartition approche cette distribution. Un principe de déviation modérée pour la mesure empirique associée à ces particules a été obtenu lorsque la taille de la population croît vers l’infini.
Dans le cas où l’on cherche à approcher une distribution fixe connue à une constante multiplicative près, problème particulièrement crucial en statistique bayésienne, des techniques adaptatives inspirées du filtrage particulaire et de l’échantillonnage d’importance ont été développées. L’approche dite par ``population Monte Carlo’’ semble une alternative aux méthodes MCMC d’autant plus prometteuse qu’elle se prête volontiers à une analyse asymptotique précise lorsque la taille de la population grossit. Suivant le choix de critère de proximité par rapport la distribution cible exprimé en terme de distance de Kullback ou en terme de variance asymptotique, des algorithmes ont été proposées conduisant à une diminution systématique du critère considéré dans le cas d’un mélange de noyaux de proposition.
