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Post Traitement de la méthode d’homogénéisation

Un problème d'optimisation de forme consiste à déteminer la forme optimale (un ouvert) minimisant une certaine fonction coût. Par exemple, il est bien connu que la forme de surface minimale pour un volume fixé est une boule. Le plus souvent, les problèmes d'optimisation de forme ne possèdent pas de telles solutions explicites. On peut chercher par exemple à minimiser les contraintes dans une structrue pour un poids donné, fabriquer une pince "optimale",... Malheureusement (mais c'est aussi là où réside l'intérêt), la grande majorité des problèmes d'optimisation de forme sont mal posés, car il n'existe pas de solution dans l'espace des "vraies" formes, c'est à dire des ouverts. En effet, il est souvent interessant de réaliser des structures d'échelles caractéristiques de plus en plus petites.

Ajouter des contraintes géométriques

Afin de s'affranchir de ce problème, deux solutions sont envisageables. La première consiste à imposer une contrainte sur l'ensemble des formes admissibles de sorte à interdire les formes possédent des détails trop fin. Cette approche assez narturelle est malheureusement très souvent stérile. En effet, elle tend à créer de nombreux minimums locaux. Ainsi, la solution d'un procédé itératif de minimisation de la fonction coût dépend fortement de l'initialisation choisie et peut s'avérer très sensible à toute modification sur la contrainte imposée. De plus, une telle approche ne nous permet pas d'obtenir une estimation de la qualité de la solution obtenue.

Autoriser les formes composites

Une approche diamétralement opposée consiste au contraire à élargir l'espace de minimisation aux formes composites (possédant des micro-strucutures "infiniment" petites) . Cette stratégie présente l'avantage de conduire (en général) à des problèmes possédant beaucoup moins de mimimums locaux que l'approche précédente. La solution obtenue par un processus itératif est largement indépendante de l'initialisation choisie (on a donc des chance de tomber sur le minimum gloabl). Pour être appliquée, cette méthode dite d'homogénéisation nécessite par contre de calculer la relaxée de la fonction coût, ce qu'on ne sait faire que pour un nombre très limité de cas particuliers. Cependant, on peut toujours se contenter de relaxation partielles qui consuisent souvent à de bons résultats. Reste que l'application d'optimisation de forme par homogénéisation conduit à l'obtention d'une forme composite en général impossible à fabriquer.

Post-traitement de la méthode d'homogénéisation

Un post-traitement est donc nécessaire. La méthode de post-traitement la plus courante consiste à pénaliser les densités de matériaux comporises entre 0 (vide) et 1 (plein). Cependant, elle conduit le plus souvent à des solutions dépendant fortement du maillage et rend le contrôle de la finesse des détails de la forme final difficile. En collaboration avec K. Trabelsi, nous avons développé un nouveau type de post-traitement de l'homogénéisation. Ce dernier consiste à reconstituer une suite "vraies formes" (c'est à dire d'ouvert), convergeant vers la forme composite solution du problème d'optimisation. Nos premières tentatives se sont focalisées sur le cas de la minimisation de la compliance (dont on sait calculer la relaxée) et ont donné lieu à un article publié dans SIAM J. Control Optim.. L'avantage principal de ntore méthode est qu'elle est indépendante du maillage utilisé et qu'elle permet de contrôler la taille des détails obtenus.

Cantilever
Pont
Double-Pont

Les figures ci-dessus repésentent les formes optimales obtenues pour la minimisation de la compliance de structures élastiques sous divers chargements. Chaque figure est diviées en deux parties. Sur l'une d'elle on a représenté la solution du problème d'homogénéisation et sur l'autre la solution obtenue après l'application de notre post-traitement. Note méthode permet de contrôler la finesse des détails de la forme final à l'aide d'un paramètre e. Plus e est peitt, plus les détails sont fins et plus le coût de la forme obtenue est proche de celui de la forme composite optimale (mais évidemment, elle devient en contre partie de plus en plus délicate à réaliser). Les figures ci-dessous représentent les différentes formes obtenues pour différents choix de paramètres e (dans le cas de la minimisation de la compliance d'un cantilever ou console).

Cantielver, e=0.3
Cantielver, e=0.25
Cantielver, e=0.2
Cantielver, e=0.15

CMAP UMR 7641 École Polytechnique CNRS, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France, Tél: +33 1 69 33 46 23 Fax: +33 1 69 33 46 46