CMAP - Centre de Mathématiques Appliquées

Sur les coefficients homogénéisés d'ordre élevé

Robert Brizzi — 2013-04-24T12:31:55Z

Les propriétés des coefficients homogénéisés associés à un milieu périodique sont classiques. Le but de cet exposé est de définir les coefficients d'ordre élevé et d'étudier leurs propriétés. On fait une étude de comparaison entre ces coefficients. - Labo

Inégalités de rigidités et vesicules.

Robert Brizzi — 2013-04-19T13:52:05Z

Il s'agit de travaux en collaboration avec Olivier Pantz. Nous proposons un modèle d'élasticité pour les vésicules biologiques et nous étudions sa limite dans le régime des parois très fines. L'exposé sera principalement consacré à des estimations de rigidité développées pour l'occasion. Un résultat de rigidité a la forme suivante : si un champ de vecteurs satisfait les contraintes X alors il est constant. Un exemple bien connu est le théorème de Liouville qui dit que si la différentielle d'une application de classe C1 est partout une isométrie alors l'application est elle même une isométrie, en particulier sa différentielle est constante. Si les contraintes X ne sont vérifiées qu'approximativement, on peut parfois conclure que le champ de vecteurs est presque constant. Une estimation de rigidité est une inégalité permettant de quantifier cette affirmation.

Une incursion mathématique autour de courbes asymptotiques liées à la production pétrolière

Robert Brizzi — 2013-04-12T09:00:44Z

Cet exposé est consacré à différentes courbes asymptotiques de production de pétrole. Nous commencerons par une introduction à la modélisation en ingénierie pétrolière. Nous justifierons mathématiquement et préciserons ensuite quelques lois de production comme celles d'Arps. Cet travail est le fruit d'une collaboration avec A. Abbaszadeh, B. Desjardins et E. Grenier. - Labo

Inverse Problems and Nonlinear Equations
Ecole Polytechnique - 22-24 mai 2013

Sylvain Ferrand — 2013-04-09T13:10:06Z

- Actualité

Inverse Problem Regularization with Weakly Decomposable Priors

Robert Brizzi — 2013-03-26T08:19:30Z

In this talk, we investigate in a unified way the structural properties of a large class of convex regularizers for linear inverse problems. We consider regularizations with convex positively 1-homogenous functionals (so-called gauges) which obey a weak decomposability property. Weak decomposability promotes solutions of the inverse problem conforming to some notion of simplicity/low complexity by living on a low dimensional sub-space. This family of priors encompasses many special instances routinely used in regularized inverse problems such as $\ell1$, $\elll1-\elll2$ (group sparsity), nuclear norm, or the $\elll^\infty$ norm. The weak decomposability requirement is flexible enough to cope with analysis-type priors that include a pre-composition with a linear operator, such as for instance the total variation and polyhedral gauges. Weak decomposability is also stable under summation of regularizers, thus enabling to handle mixed regularizations.

The first part of the talk is dedicated to assessing the theoretical recovery performance of this class of regularizers. We provide sufficient conditions that allow to provably controlling the deviation of the recovered solution from the true underlying object, as a function of the noise level. More precisely we establish two main results. The first one ensures that the solution to the inverse problem is unique and lives on the same low dimensional sub-space as the true vector to recover, with the proviso that the minimal signal to noise ratio is large enough. This extends previous results well-known for the $\ell1$ norm [1], analysis $\ell1$ semi-norm [2], and the nuclear norm [3] to the general class of weakly decomposable gauges. In the second result, we establish $\ell2$ stability by showing that the $\ell2$ distance between the recovered and true vectors is within a factor of the noise level, thus extending results that hold for coercive convex positively 1-homogenous functionals [4].

This second part of the talk is dedicated to analyzing the local sensitivity of any regularized solution to perturbations on the observations, and as a by-product, its implications to construct unbiased risk estimators and parameters selection procedures. We give a precise local parameterization and establish local differentiability of any regularized solution as a function of the observations. We also give an expression of the Jacobian of a solution mapping with respect to the observations. Using tools from o-minimal geometry, we prove that the set of non-differentiability points is of zero Lebesgue measure, hence showing that the expression of the Jacobian is valid Lebesgue almost everywhere. These results are achieved without requiring that the forward-model linear operator is injective, and extend and unify previous results known for analysis $\ell1$ sparsity, see [5] and references therein. When the noise in the observations is Gaussian, these results allow us to derive expressions of the Generalized Stein Unbiased Risk Estimator (GSURE) [6]. In turn, this provides a principled way to automatically select the hyperparameters involved, such as the regularization parameter.

This is a joint work with S. Vaiter, C. Deledalle, M. Golbabaee, C. Dossal and J. Fadili.

Bibliography :

[1] J.J. Fuchs, On sparse representations in arbitrary redundant bases. IEEE Transactions on Information Theory, 50(6):1341-1344, 2004. [2] S. Vaiter, G. Peyré, C. Dossal, J. Fadili, Robust Sparse Analysis Regularization, to appear in IEEE Transactions on Information Theory, 2013. [3] F. Bach, Consistency of trace norm minimization, Journal of Machine Learning Research, 9, 1019-1048, 2008. [4] M. Grasmair, Linear convergence rates for Tikhonov regularization with positively homogeneous functionals. Inverse Problems, 27(7):075014, 2011.20 [5] S. Vaiter, C. Deledalle, G. Peyre, J. Fadili, and C. Dossal, Local behavior of sparse analysis regularization : Applications to risk estimation, to appear in Applied and Computational Harmonic Analysis, 2013. [6] Y. C. Eldar, Generalized sure for exponential families : Applications to regularization,E2809D IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, pp. 471E28093 481, 2009.

Simulations numériques pour un modèle de transition de phase

Robert Brizzi — 2013-03-11T10:31:14Z

On s'intéresse à une équation de diffusion non-linéaire modélisant le transport de masse dans les polymères au point de vitrification. Le concept de solution diphasique entropique, introduit par Evans et Portilheiro en 2004, permet d'analyser les schémas numériques classiques et d'introduire une méthode reproduisant le mouvement de l'interface sans oscillations. il s'agit d'un travail en collaboration avec C. Mascia, de l'université La Sapienza à (...) - Labo

Segmentation non supervisée d'image hyperspectrale : une approche parcimonieuse

Robert Brizzi — 2013-03-11T10:27:50Z

E. Le Pennec (Inria Saclay Idf/Select) en collaboration avec S. Cohen (CNRS/Ipanema)

Le synchrotron Soleil permet d'acquérir facilement un grand volume d'image hyperspectrale de très bonne résolution spatiale et fréquentielle. L'automatisation du traitement de ces données est nécessaire pour pouvoir exploiter pleinement ce potentiel. Dans ce travail, nous proposons une nouvelle méthodologie pour segmenter ces images en régions homogènes non nécessairement connexes sans aucune intervention humaine. Cette approche se base sur une reformulation du problème en terme d'estimation d'estimation de densité conditionnelle et repose sur un principe de parcimonie pour le choix du nombre de ces régions. Les performances numériques de cette méthode sont expliquées par des résultats théoriques que nous présenteront également.

Grandes déviations et résultats asymptotiques pour les densités des processus de diffusion

Robert Brizzi — 2013-02-25T12:23:59Z

On présentera quelques résultats asymptotiques pour les lois des solutions d'équations différentielles stochastiques dirigées par le mouvement brownien. On se concentrera sur le cas d'asymptotique lorsqu'un paramètre tend vers zéro (e.g. temps court, ou cas "small noise"), où la théorie des grandes déviations fait apparaitre des phénomènes de concentration autour d'un système déterministe limite. Dans le cas de coefficients réguliers, il est possible d'établir l'existence d'une densité pour la loi du processus : le même type de résultat asymptotique peut être formulé pour cette densité, comme dans les travaux pionniers de Bismut et Léandre généralisant le célèbre résultat de Varadhan sur le comportement du noyau de la chaleur, et mélangeant grandes déviations et calcul de Malliavin. On considèrera quelques application de ces calculs asymptotiques à la modélisation financière, où l'intérêt porte aussi sur l'estimation de certaines lois marginales et lois conditionnelles.

M2 2010-2011

Anne de Bouard — 2013-02-18T15:13:26Z

Nonlinear dispersive PDEs and applications in optics

Introduction ;

chapitre 1 ;

chapitre 2- première partie ;

chapitre 2- seconde partie ;

chapitre 2- troisième partie ;

chapitre 2- quatrième partie ;

chapitre 3 ;

Quelques propriétés et applications des modèles shot-noise

Robert Brizzi — 2013-02-15T13:36:57Z

Les modèles shot-noise sont des modèles de champs aléatoires qui s'écrivent comme X(x)=\sum g(x-x_i) où g est une fonction noyau et les x_i sont les points d'un processus ponctuel de Poisson. C'est un modèle qui a de nombreuses applications en physique. Dans cet exposé, je montrerai comment on peut, à l'aide de la formule de la coaire, calculer la longueur moyenne des lignes de niveau d'un tel champ aléatoire. Je montrerai aussi comment ce modèle est utilisé et étendu en analyse d'images (...) - Labo