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Solution à la Leray pour Navier-Stokes compressible avec pression thermodynamiquement instable

Les équations de Navier-Stokes constituent un modèle mathématique de base pour décrire le mouvement d’un fluide. Dans le célèbre papier publié dans Acta Mathematica en 1934, « sur le mouvement d’un fluide visqueux », Jean Leray (1906-1998) introduit (entre autres) le concept de solutions faibles globales en temps en donnant une définition précise de ce qu’est une solution irrégulière du système et montre qu’il existe une telle solution faible pour les équations de Navier-Stokes dans sa version incompressible et homogène (densité constante). On appelle maintenant ces solutions de régularité minimale (énergie finie) : solutions à la Leray. Même si l’existence globale de solutions faibles apporte assez peu sur le caractère bien posé du système, une telle analyse a de nombreux intérêts pratiques. En plus de la signification physique, car la régularité des données initiales supposée est minimale et fortement liée à des quantités physiques bien identifiées, les propriétés de stabilité de solutions faibles sur le modèle continu aident à mieux comprendre comment construire des schémas numériques stables qui le plus souvent ne préservent pas les estimations de régularité forte.

Nous rappellerons l’état de l’art sur les solutions à la Leray pour les équations de Navier-Stokes compressible sans température (P.-L. Lions, E. Feireisl et al, D.B. – B. Desjardins) en passant par les résultats concernant les équations de Navier- Stokes incompressible non-homogène (A. Kazhikhov, J. Simon, P.-L Lions). Nous montrerons qu’il est maintenant possible grâce à un travail réalisé en collaboration avec P.-E. Jabin (Univ. Maryland) dans le cas avec viscosités constantes de considérer des lois de pressions thermo-dynamiquement instables et de l’anisotropie dans les viscosités : cadre qui échappait totalement à la théorie auparavant.


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