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Homogénéisation en temps long de l’équation des ondes

Dans cet exposé on s’intéressera à l’équation des ondes dans un champ a décrivant la réponse du milieu à la propagation de l’onde. Le but de l’homogénéisation est alors de décrire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par u, la limite de u_ε dans un régime asymptotique donné. Lorsque a est périodique, un résultat classique affirme que, sur des échelles de temps T > 0, u vérifie aussi une équation d’onde de coefficient ”moyennisé”. Toutefois la littérature indique que sur des échelles de temps de l’ordre de ε^-2 T des phénomènes dispersifs apparaissent.

On s’intéressera ici à des champs a plus généraux (par exemple stochastiques) et on montrera comment l’adaptation d’une méthode d’homogénéisation dans le cas périodique, la méthode des ondes de Bloch, permet d’obtenir les équations homogénéisées pour des échelles de temps de l’ordre de ε^- lT. Cette m éthode dite de Taylor-Bloch consiste à construire des couples de vecteurs/valeurs propres approchés pour l’opérateur magnétique −(∇ + ik) · a(∇ + ik) et se base sur l’introduction d’un nouveau jeu de correcteurs étendus.

On verra aussi comment ces correcteurs étendus permettent d’obtenir des résultats d’homogénéisation pour l’équation elliptique ∇·a xε ∇u_ε = f.


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