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Séminaire des doctorants - 6 janvier 2017

René Mboro (CMLS) - Sur quelques invariants birationnels des variétés projectives

Salle de conférence du CMAP - 16h00

La géométrie algébrique étudie traditionnellement des objets, appelés variétés algébriques, définis par des équations polynomiales sur un corps corps, pour nous le corps des complexes. Deux notions d’applications entre variétés algébriques sont généralement considérées : les morphismes (applications données par des polynômes) et les applications rationnelles (applications données par des fractions rationnelles) ; on dispose donc de 2 relations d’équivalence sur les variétés algébriques : "être isomorphes" et "être birationnellement équivalents". On s’intéresse particulièrement aux variétés rationnelles qui sont les variétés appartenant à la classe birationnelle de la variété la plus simple : l’espace projectif. Pour caractériser les classes birationnelles on est amené à introduire des invariants birationnels qui sont des nombres, des groupes ou des propriétés stables dans les classes birationnelles. En dimension < 2, par les travaux Castelnuovo, on sait que les variétés rationnelles sont caractérisées par l’annulation de quelques invariants simples. La caractérisation, par des invariants birationnels "raisonnablement calculables", des variétés rationnelles de dimension au moins 3 est un problème toujours ouvert. Depuis les années 70, plusieurs invariants birationnels ont été étudiés (Clemens-Griffiths, Iskovskikh-Manin, Artin-Mumford, Voisin...) et ont permis de montrer que certaines variétés présentant des traits de rationalité ne sont pas rationnelles. Nous présenterons, dans l’exposé, quelques invariants birationnels notamment ceux utilisés en petite dimension et indiqueront une recette permettant de produire ces invariants.

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