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Grandes déviations et résultats asymptotiques pour les densités des processus de diffusion

On présentera quelques résultats asymptotiques pour les lois des solutions d’équations différentielles stochastiques dirigées par le mouvement brownien. On se concentrera sur le cas d’asymptotique lorsqu’un paramètre tend vers zéro (e.g. temps court, ou cas "small noise"), où la théorie des grandes déviations fait apparaitre des phénomènes de concentration autour d’un système déterministe limite. Dans le cas de coefficients réguliers, il est possible d’établir l’existence d’une densité pour la loi du processus : le même type de résultat asymptotique peut être formulé pour cette densité, comme dans les travaux pionniers de Bismut et Léandre généralisant le célèbre résultat de Varadhan sur le comportement du noyau de la chaleur, et mélangeant grandes déviations et calcul de Malliavin. On considèrera quelques application de ces calculs asymptotiques à la modélisation financière, où l’intérêt porte aussi sur l’estimation de certaines lois marginales et lois conditionnelles.

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