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HDR

Quelques problèmes variationnels : Contacts, Optimisation de forme et Analyse asymptotique

Université Paris Sud, Soutenance prévue le 7 décembre 2012 devant un jury consitué par G. Allaire, G. Buttazzo, A. Henrot (rapporteur), F. Jouve, M. Masmoudi (rapporteur), B. Maury (rapporteur)

Mes activités de recherche portent principalement sur trois thèmes : La simulation et modélisation des contacts sans frottement en grandes déformations, l’optimisation de forme, l’analyse asymptotique. La colonne vertébrale qui relie tous ces thèmes est qu’ils peuvent tous être formulé en terme de problèmes variationnels. Ce mémoire se compose de trois chapitres, chacun correspondant à l’une des thématiques mentionnées. Chaque chapitre détaille les résultats obtenus dans mes travaux et est conclu par une section traçant quelques pistes d’approfondissements possibles.

Optimisation de Forme

Depuis mon arrivé au CMAP, j’ai commencé à m’intéresser à divers problèmes d’optimisation de structures. Mon travail à tout d’abord porté sur l’optimisation de structures composées de matériaux de caractéristiques différentes. Dans un second temps, outre le développement sous FreeFem++ de diverses méthodes d’optimisation de forme (géométrique, lignes de niveaux, homogénéisation, SIMP), j’ai développé, en collaboration avec Karim Trabelsi, de nouvelles méthodes essentiellement motivés par la volonté de proposer une alternative à la pénalisation classique de la méthode d’homogénéisation, cette dernière dépendant fortement du maillage utilisé et ne permettant pas un contrôle précis de la complexité géométrique de la forme optimale finale.

Analyse Asymptotique

Au cours de ma thèse, je m’étais intéressé à la modélisation des plaques en flexion. J’avais ainsi montré que le modèle de plaques non linéaires pouvait être obtenu rigoureusement à partir de l’élasticité tridimensionnelle par une analyse asymptotique en faisant tendre l’épaisseur de la plaque vers zéro. Depuis, j’ai étudié d’autres problèmes d’analyse asymptotique du même type comme la modélisation des poutres en flexion/torsion, l’étude de certains réseaux atomiques carrés avec interactions à trois points, la justification du modèle de vésicules de Helfrich par l’élasticité tridimensionnelle ou l’homogénéisation de faisceaux d’axones .

(Auto)contacts en grandes déformations

Les contacts sont omniprésents dans tous systèmes mécaniques. Dans mes travaux de thèse, j’ai proposé une nouvelle modélisation des contacts sans frottement en grandes déformations. Depuis, je me suis intéressé à l’aspect purement numérique du problème dans un cadre statique ou quasi-statique, ce qui consiste à déterminer un minimiseur de l’énergie élastique (non convexe) d’un système composé de solides élastiques sur l’espace des déformations sans (auto)-intersection (également non convexe). J’ai donc proposé deux nouveaux algorithmes. Un algorithme de type pénalisation, basé sur la modélisation introduite durant ma thèse et un algorithme, plus classique, de type approximation interne pour lequel la prise en compte des contacts est directement effectuée sur le problème discrétisé.



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