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Aspects tropicaux du contrôle optimal ergodique

Les applications monotones, additivement homogènes et convexes de $R^S$ dans lui-même coïncident avec les opérateurs de la programmation dynamique de problèmes de contrôle stochastique non actualisés à temps discret sur l’espace d’états $S$. La résolution d’un problème de contrôle ergodique (ou moyen en temps) peut alors se déduire de celle du problème spectral non linéaire associé à une telle application.

Un cas particulier important est celui des applications linéaires dans l’algèbre max-plus ou tropicale, qui correspond aux problèmes de contrôle déterministe. Nous montrerons comment dans ce cas particulier le problème spectral non linéaire peut être traité par des techniques d’algèbre tropicale, en particulier la notion de points extrêmes de convexes tropicaux et une version max-plus de la frontière de Martin, qui généralise la notion d’horofrontière d’un espace métrique.

Nous montrerons aussi comment les problèmes de contrôle ergodique à temps continu peuvent être traités de la même manière au moyen du problème spectral associé à un semi-groupe d’applications linéaires max-plus, lequel est équivalent dans le cas régulier à la solution d’une équation d’Hamilton-Jacobi stationnaire. Nous montrerons aussi comment ces même techniques ont inspiré des résultats concernant le problème spectral non linéaire général.

Les résultats présentés font partie de travaux réalisés en collaboration avec Stéphane Gaubert, Benoît David, Cormac Walsh, Bas Lemmens.


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