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Relaxation d’une fonctionnelle de Willmore généralisée

Plusieurs problèmes d’optimisation de forme en traitement d’images, en biologie ou en en géométrie discrète font intervenir la fonctionnelle de Willmore, qui est pour une surface l’intégrale de sa courbure moyenne au carré. Minimiser sous contraintes cette fonctionnelle est, en raison de sa singularité, un problème délicat. Plus précisément, il est difficile de caractériser précisément la structure des minimiseurs et de donner une forme explicite à leur énergie. Je présenterai un travail en collaboration avec Giacomo Nardi (Dauphine) dans lequel nous avons étudié une version "intégrée" de la fonctionnelle de Willmore, c’est-à-dire définie pour les fonctions et pas seulement pour les ensembles. Je décrirai des outils, basés sur les mesures de Young et les varifolds, que nous avons introduits afin de caractériser, au moins partiellement, la relaxée de cette fonctionnelle de Willmore intégrée. Je ferai également le lien avec des travaux récents autour de la relaxation convexe de fonctionnelles dépendant de la courbure, que l’on utilise par exemple pour le problème de l’inpainting en traitement des images.

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