Rechercher

sur ce site


Accueil du site > Résumés des séminaires > Labo > Méthodes MCMC adaptatives

Méthodes MCMC adaptatives

Motivation : Les algorithmes de Monte Carlo par Chaînes de Markov (MCMC) sont des méthodes de simulation d’une loi dite "loi cible". Elles consistent à simuler une chaîne de Markov (ergodique) dont la loi stationnaire est la loi cible. Elles demandent relativement peu de connaissances sur la loi cible ; en particulier, elles s’appliquent lorsque celle-ci n’est connue qu’à une constante de normalisation près. De ce fait, le champs d’application est assez vaste. Néanmoins, l’efficacité de ces échantillonneurs dépend entre autre de la dimension de l’espace de simulation, de la structure de covariance de la loi cible, de sa multimodalité. Pour faire face à cette complexité du problème de simulation, il faut choisir les bons paramètres dits "paramètres d’implémentation" de l’algorithme MCMC : il n’y a pas unicité de la chaîne de Markov ayant une mesure stationnaire donnée, et l’utilisateur des MCMC se trouve confronté au choix du "meilleur" noyau de transition - dans une famille donnée -

Les critères d’optimalité ne possèdent pas - en général - de solution explicite : le paramètre d’implémentation optimal peut néanmoins être approché, par exemple, par la mise en oeuvre de procédures d’approximation stochastique pour la recherche d’optima du critère d’efficacité. Par suite, ces dix dernières années, les algorithmes MCMC ont évolué vers des procédures dites adaptatives : les paramètres d’implémentation sont modifiés au cours du déroulement de l’algorithme de simulation, à l’aide des réalisations passées. Ces algorithmes peuvent donc être décrits de la façon suivante : on dispose d’une famille de noyaux de transition, et à chaque itération de l’algorithme MCMC, on choisit un noyau selon un mécanisme aléatoire. Ces algorithmes ne retournent donc plus la réalisation d’une chaîne de Markov ; l’étude de leur comportement ne relève donc plus seulement de résultats de la théorie des chaînes de Markov, et dans bien des cas, la compréhension de ces algorithmes est encore un problème ouvert.

L’objectif de cet exposé est de présenter quelques méthodes MCMC adaptatives, et montrer que l’adaptation peut détruire la convergence vers la loi cible. Dans une seconde partie, je présenterai les résultats que nous avons obtenus, résultats relatifs aux conditions que doit vérifier le processus d’adaptation pour garantir la convergence de ces algorithmes. Par "convergence", j’envisagerai tout d’abord la convergence de la loi du processus vers la loi cible ; puis l’existence d’une loi des grands nombres.

Travail en collaboration avec E. Moulines (TELECOM ParisTech) et P. Priouret (Univ. Paris 6).


CMAP UMR 7641 École Polytechnique CNRS, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France, Tél: +33 1 69 33 46 23 Fax: +33 1 69 33 46 46