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Intégration géométrique pour les EDP Hamiltoniennes semilinéaires

L’intégration géométrique est l’étude de la préservation de propriétés géométriques qualitatives d’un flot (préservation d’une mesure, d’une énergie, etc...) par une méthode numérique de discrétisation en temps. Pour une EDO Hamiltonienne, un des résultat fondamental connu depuis le milieu des années 90 est le suivant : Quand on approche une EDO Hamiltonienne par une méthode symplectique, la trajectoire numérique coïncide (presque) avec la trajectoire exacte d’une équation Hamiltonienne modifiée, et ceci sur des temps exponentiellement longs par rapport au pas de temps. De ce résultat découlent en particulier l’existence d’une énergie modifiée préservée par le schéma numérique sur des temps extrêmement long, ce qui entraîne le bon comportement de ces schémas dans des situations naturellement stables par perturbation.

Le but de cet exposé est donner des résultats similaires pour l’approximation d’EDP Hamiltoniennes semilinéaires, dont l’exemple de base sera NLS cubique, et pour des méthodes de type splitting explicites ou semi-implicites. Il s’agit de travaux en commun avec A. Debussche (ENS Cachan Bretagne) et B. Grébert (Univ. Nantes).


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