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Résonances et intégration géométrique des EDP Hamiltoniennes

On étudie l’intégration numérique en temps long d’une classe de d’EDP non linéaires Hamiltoniennes incluant l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes. En utilisant la théorie des formes normales de Birkhoff, on montre que les schémas de splitting préservent génériquement la régularité de la donnée initiale (supposée petite) pour des temps extrêmement long. Néanmoins pour certains pas de temps, des phénomènes de résonances apparaissent détruisant les propriétés de conservation du système initial. On montre ensuite que le même type de phénomènes survient aussi pour des schémas symplectiques a priori plus stable comme le point milieu. A l’opposé, l’utilisation de schémas implicites peut même détruire des phénomènes de résonances existant dans le système physique et créer des phénomènes de conservation non désirés. Il s’agit de travaux en commun avec B. Grébert, E. Paturel (Université de Nantes) et A. Debussche (ENS Cachan Bretagne).

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