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La méthode d’homogénéisation

Minimisation de la compliance

Nous présentons une méthode d'optimisation topologique de structures dans le cadre de l'élasticité linéaire. Il s'agit de trouver la forme d'une structure qui soit à la fois de poids minimal et de rigidité maximale pour les chargements auxquelles elle est soumise. Mathématiquement, nous cherchons à minimiser une somme pondérée du poids et du travail des forces extérieures (la compliance) en fonction de la forme de la structure. Ce problème de minimisation est en fait "mal posé", c'est-à-dire qu'en général il n'existe pas de solution optimale et les solutions calculées par des méthodes numériques classiques sont très dépendantes d'un choix initial de forme et du maillage. Notre méthode est basée sur la théorie de l'homogénéisation qui permet de rendre ce problème bien posé en autorisant, comme forme admissible, les composites obtenus par micro-perforation du matériau élastique original. Nous obtenons ainsi un nouvel algorithme numérique qui permet de capturer sur un maillage fixe une forme optimale. Ce type d'optimisation est dit topologique car aucune restriction explicite ou implicite n'est imposée sur la topologie de la forme optimale qui peut avoir n'importe quel nombre de trous ou de membres.

Pour une présentation plus détaillées, vous pouvez consulter l'article de Grégoire Allaire, publié dans le numéro 53 de MATAPLI, bulletin de la SMAI, en janvier 1998.



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