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Optimisation de formes dans la classe des corps de largeur constante et des rotors

Térence Bayen (CMAP) - 09 Octobre 2007

Un corps de largeur constante est un compact convexe de R^N, N>=2 qui possède la même largeur dans toutes les directions de l’espace. De façon équivalente, un corps de largeur constante tourne à l’intérieur d’un carré en restant à chaque instant en contact avec les 4 côtés du carré. On définit plus généralement les rotors qui sont des corps convexes qui tournent à l’intérieur d’un polygone régulier à n>= 3 côtés en restant à chaque instant en contact avec les n côtés. Dans les années 1900, Blaschke et Lebesgue ont démontré géométriquement que dans la classe des corps de largeur constante, celui d’aire minimale est le triangle de Reuleaux, qui est l’intersection de trois disques centrés sur les sommets d’un triangle équilatéral. Dans cet exposé, on s’intéresse à une généralisation de ce résultat au cas des rotors. Nous reformulons d’abord analytiquement ce problème d’optimisation de formes, puis, à l’aide du principe de Pontryagin et du théorème de Noether, nous démontrons la conjecture de Goldberg (1965), à savoir que le rotor d’aire minimale est un rotor régulier. Nous envisagerons également le problème de minimisation du volume dans la classe des corps de largeur constante en dimension 3.

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