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Pour une fonction-objectif égale à la norme $L^p$ du déplacement, on peut écrire le problème relaxé pour $1 \le p < +\infty$ en 2d et $1 \le p < 6$ en 3d, et exprimer les conditions d’optimalité en fonction de la solution du problème direct et du problème adjoint. Contrairement au cas de la compliance, pour lequel on sait décrire explicitement des composites (matériaux laminés séquentiels) qui atteignent les bornes de l’énergie élastique, on ne peut pas en déduire explicitement un composite optimal local. Cela tient au fait que l’on ne sait pas caractériser l’ensemble, appelé $G_\theta$, de tous les matériaux que l’on peut fabriquer en mélangeant de facon quelconque un matériau donné et du vide en proportions respectives $\theta$ et $(1-\theta)$.

Afin de pouvoir tout de même développer des méthodes numériques pour ce type de problème, G. Allaire, S. Aubry et F. Jouve ont introduit une relaxation partielle du problème initial. Elle consiste à utiliser la fonctionnelle relaxée en la minimisant sur un sous-ensemble connu de $G_\theta$, à savoir l’ensemble des matériaux composites que l’on peut fabriquer par laminations successives du matériau initial et de vide noté $L_\theta$. Notons que dans les cas de la compliance (mono et multi-chargements) et des valeurs propres, la relaxation partielle coincide avec la véritable relaxation.

Les éléments de $L_\theta$ sont décrits par un petit nombre de paramètres (les directions de lamination et les proportions de chacun des matériaux pour chacune des laminations). De plus les propriétés macroscopiques de tels matériaux sont données par des formules algébriques, ce qui n’est en général pas le cas pour un composite quelconque. Dans les applications, l’optimisation sur cette classe de matériaux s’effectue grace à une méthode de type ``gradient projeté’’, analogue à celle employée pour le problème de valeurs propres.