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Lorsque la fonctionnelle à optimiser est une fonction linéaire des plus petites valeurs propres du système, on peut employer des techniques analogues à celles développées pour l’énergie élastique. Dans ce cas, on veut maximiser les fréquences propres les plus basses. Les premières valeurs propres du système de l’élasticité étant caractérisées par un principe de minimisation (quotient de Rayleigh), on obtient donc un problème de type ``min-max’’, plus délicat à traiter que le cas de la compliance qui peut s’écrire sous la forme d’un problème de type ``min-min’’. G. Allaire, S. Aubry et F. Jouve ont démontré un théorème de point-selle permettant d’écrire une formulation relaxée pour laquelle l’optimisation des paramètres de forme revient à calculer les bornes de l’énergie élastique. La maximisation de la première valeur propre se ramène ainsi au cas de l’optimisation de la compliance mono-chargement, tandis que la somme pondérée de valeurs propres est analogue au cas multi-chargements. Toutefois, nous ne sommes plus assurés que l’algorithme numérique qui découle naturellement de cette formulation (et qui est similaire à celui que l’on utilise dans le cas de la compliance) conduit à une croissance de la fonction-coût à chaque itération. Effectivement, les premières simulations numériques ont permis de mettre en évidence des cas où un phénomène de pollution spectrale intervient subitement - menant à la divergence de l’algorithme - tandis que d’autres cas se comportent fort paisiblement. Nous avons donc été amenés à développer de nouveaux outils pour pallier ce problème. La stratégie adoptée est la suivante : tant que l’algorithme ``traditionnel’’ (mettant en jeu des composites optimaux calculés explicitement) permet d’améliorer la fonction-objectif, on emploie cette méthode. Dès que la fonction-objectif commence à décroître (si on cherche à la maximiser), on passe à une méthode de descente qui utilise le gradient de la fonctionnelle à optimiser par rapport aux variables de forme qui sont les paramètres décrivant en chaque point du domaine le composite (laminé) local. Cette méthode permet d’obtenir un algorithme robuste dans tous les cas, au prix d’un coût de calcul légèrement supérieur à celui des méthodes précédentes.