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Thèse

Quelques problèmes de modélisation en élasticité non linéaire.

Thèse effectuée au Laboratoire Jaqcues Louis Lions, sous la direction de H. Le Dret. Soutenue le 18 janvier 2001, devant un jury consitué par G. Allaire, P.G. Ciarlet, G. Geymonat, H. Le Dret, A. Raoult.

Résumé

J’ai abordé deux thèmes dans ma thèse : Modélisation des plaques élastiques non linéaires dans les deux premières parties et modélisation des structures de dimension quelconques avec auto-contacts, sans frottement et sans auto-intersection dans la dernière.

Plaques élastiques non linéaires

Les deux premières parties concernent la modélisation des plaques élastiques non linéaires. On cherche à déduire du modèle élastique non linéaire tridimensionnel des modèles bidimensionnels. L’étude est effectuée pour un matériau de type St Venant-Kirchhoff. Le premier chapitre est fondé sur une procédure de développement asymptotique formel inspirée d’un article de Fox, Raoult et Simo. On transforme le problème initial en une suite récursive de problèmes de minimisation. On obtient un modèle membranaire cohérent avec un résultat obtenu par Le Dret et Raoult par $\Gamma$-convergence. La poursuite de l’analyse nous amène à proposer un modèle combinant effet membranaire et en flexion du type Koiter non linéaire. Dans le deuxième chapitre, on donne une justification partielle du modèle de plaque en flexion non linéaire obtenu formellement par Fox, Raoult et Simo. Cette approche est fondée sur la notion de $\Gamma$-convergence. En restreignant de façon appropriée l’ensemble des déformations admissibles, on montre que la $\Gamma$-limite de l’énergie majore l’énergie de flexion non linéaire. On obtient de plus l’égalité pour les déformations régulières.

Contacts etr autocontacts sans frottements

La dernière partie est consacrée à la modélisation des solides élastiques avec contacts, sans frottement et sans auto-intersection. Ce type de problèmes a déjà été abordé dans le cas où les dimensions du solide déformable et de l’espace dans lequel il se déforme sont identiques. On propose une formulation applicable quelles que soient les dimensions respectives de la structure et de l’espace. Le problème obtenu possède au moins une solution. Enfin, on retrouve les équations d’Euler-Lagrange dans les cas d’une poutre contrainte à un plan et d’un solide de volume non nul. Une méthode de pénalisation est introduite en vu d’effectuer des applications numériques.



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