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Simulation et modélisation des contacts

Ballons dans une boite
en rotation

Je m’intéresse à la modélisation des contacts sans frottement entre solides élastiques déformables, en particulier des structures minces, d’un point de vue théorique et numérique.

Modélisation des contacts en élasticité non linéaire

La prise en compte des contacts en élasticité non linéaire soulève plusieurs questions théoriques portant sur la définition de l’ensemble des déformations admissibes, ses propriétés, l’existence de solutions, leur régularité, la dérivation des équations d’Euler-Lagrange. Les premiers travaux dans ce domaine ont été réalisés par John Ball. Il introduit la notion de polyconvexité, qui lui permet de prouver l’existence de minimiseurs de l’énergie pour des solides élastiques dont l’énergie explose lorsque le déterminant du gradient de la déformation tend vers zéro. Il obtient ainsi l’existence de solutions localement injectvies. Dans le cas où on considère des solides fixés sur la totalité de leur bord, l’injectivité locale implique l’injectivité globale des solutions. Par la suite, ses travaux ont été étendus par PG. Ciarlet et J. Necas aux conditions aux bords mixtes. Une condition supplémentaire est imposée aux déformations admissibles de sorte à assurer l’injectivité golable des solutions. De plus, en supposant que les solutions sont régulières ils dérivent les équations d’Euler-Lagrange vérifées par les points critiques de l’énergie. Récemment, nous avons proposé une nouvelle arpproche permettant de traiter également le cas des structures minces. Plutôt que d’imposer l’injectvité presque partout des solutions (ce qui n’a plus vraiment de sens pour les structures minces), on impose aux déformations admissibles de ne pas présenter d’auto-intersections transverses. A cet effet, une contrainte de type topologique est introduite. On prouve aisément l’existence de solutions dans ce nouvel espace de déformations admissibles. De plus, on prouve (dans certains cas dépendant de la dimension des structures et de l’espace ambiant) que les points critiques de l’énergie vérifient les équations d’Euler-Lagrange.

Simulations numériques

Auto Contacts
Contacts avec adaptation de maillage

La contrainte de non interpénétration des objets est délicate à traiter numériquement car non convexe. Ce problème a succité une littérature plétorique. De nombreuses méthodes existent la plupart étant basée sur la formulation Maître/Esclave. Nous proposons deux nouvelles méthodes afin d’aborder ce problème : Une méthode de pénalistion, basées sur notre analyse théorique (mais limitée au cas bidimentionnel et très consommatrice en temps de calcul) et une méthode "pratique" d’approximation interne. Cette dernière se démarque des algorithmes existants car elle permet de traiter dans un même cadre le cas des contacts, des auto-contacts, des structures minces ou non. Cette méthode a par ailleurs été intégrée par J.F. Gerbeau au code de calcul fluide/structures de l’équipe REO de l’INRIA pour la simulation de l’écoulement sanguin dans les artères et le traitement du contact entre valves.

Autres simulations obtenues à l’aide d’une méthode de type approximation interne

Tous les exemples au format mpeg, compressés dans une archive (4.7M) : Films.tgz

323K
129K
1.3M
3.1M
418K

Quelques exemples numériques utilisant la méthode de pénalisation

Tous les exemples qui suivent illustrent l’action de l’introducion de la pénalisation des auto-intersections. Pour chaque exemple, on minimise la fonction de pénalisation en utilisant une méthode de type descente de gradient appliquée à diverses initialisations non admissibles. Les figures représentent différentes étapes du processus de minimisation. La déformation de référence est l’injection du cercle dans le plan, c’est à dire l’application t->(cos(t),sin(t)) (après avoir identifié la droite réelle quotientée par 2pi au cercle).

Déformation initale t->(cos(t),sin(2t))
Déformation initale t->(cos(2t),sin(2t))
Déformation initale t->(cos(-t),sin(-t))
Déformation initale t->(cos(3t),sin(3t))

Articles et preprints



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