• 5.9.1-Les erreurs de modélisation :
• 5.9.2-Les erreurs de programmation :
• 5.9.3-Les erreurs de calcul :
• 5.9.4-Les erreurs de représentation :

                               ku
                    F (u,v) = e  (1+cos(v))cos(u)
                     x


                               ku
                    F (u,v) = e  (1+cos(v))sin(u)
                     y


                               ku
                    F (u,v) = e  (2+sin(v))
                     z

                         log(2)
                    k = --------
                          2.pi


                    u ∈ [-2.pi,+2.pi]


                            pi
                    v ∈ [- ----,+pi]
                            2

                               mu
                    F (u,v) = e  ((cos(mv)cos(u)ch(v))+(sin(mv)sin(u)sh(v)))
                     x


                               mu
                    F (u,v) = e  ((cos(mv)sin(u)ch(v))-(sin(mv)cos(u)sh(v)))
                     y


                                      _____
                                     /   2
                                mu \/ 1+m
                    F (u,v) = -e  ----------sin(mv)
                     z                 m

                         1
                    m = ---
                         2


                    u ∈ [-2.pi,+2.pi]


                            pi     pi
                    v ∈ [- ----,+ ----]
                            2      2

                    X  = 0.5
                     0

                    X  = RX   (1 - X   )
                     n     n-1      n-1

                    R1  ==>  R1  ==>  R1  ==>  R1


                    /\                         ||
                    ||                         \/


                    R2                         R1


                    /\                         ||
                    ||                         \/


                    R2                         R1


                    /\                         ||
                    ||                         \/


                    R2  <==  R2  <==  R2  <==  R2

                    3.0 < R1 < 3.7

                    3.0 < R2 < 3.7

                     dx       DH
                    ---- = + ----
                     dt       Dy


                     dy       DH
                    ---- = + ----
                     dt       Dx



                           1        2    2
                    H = ------log(|z  - w |)
                         2.pi



                    z = x+iy


                    w = 1 + EPSILON.cos(OMEGA.t)

                      -   dx
                     |   ---- = -10x + 10y
                     |    dt
                     |
                     |    dy
                    <    ---- = 28x - y - xz
                     |    dt
                     |
                     |    dz       8
                     |   ---- = - ---z + xy
                      -   dt       3

                          2
                    Z  = Z    + C
                     n    n-1

                    Z  = 0
                     0

                    [1] : |Z | < INFINI ∀ n
                            n

                    [2] : |Z | --> INFINI
                            n

• la relation d'incertitude d'Heisenberg [29] qui limite la connaissance simultanée qu'un observateur peut avoir de la position et de la vitesse d'une particule, et donc interdit de la représenter comme une petite sphère bien localisée et se déplacant bien régulièrement sur un écran ; le "flou quantique" doit donc être rendu visuellement, mais en le limitant de façon à donner à l'œil de l'observateur les quelques points de repère nécessaires.
• la non séparibilité découverte récemment qui nous montre que le découpage de la Réalité en objets n'est qu'une illusion de nos sens [01] ; elle aussi nous demande donc de proscrire la vision "particulaire" et bien localisée qu'imposent presque obligatoirement les techniques de la synthèse d'image.

5.9.1-Les erreurs de modélisation :

Faire une expérience virtuelle signifie d'abord concevoir le modèle de l'objet étudié . Ce processus relève de la discipline dans laquelle évolue le chercheur [36], mais aussi et de façon systématique, des mathématiques, celles-ci pouvant être qualifiées à juste titre de fondation de la Science. A partir des résultats collectes lors de l'observation des phénomènes, des lois doivent être formulées. Les phénomènes dont il vient d'être question sont en général naturels (la chute des corps, le mouvement des planètes, la croissance des plantes,...) ; mais cela peut ne pas être le cas : les mathématiques forment elles-mêmes un champ expérimental extremêment étendu [37]. Des cette étape, de nombreuses erreurs peuvent s'immiscer dans les équations : conceptuelles [38] et de "manipulation" [39]. Celles-ci peuvent très bien ne jamais être décelées, ou beaucoup plus tard ; ce sera ainsi le cas où l'objet étudié se situe à la frontière de la connaissance, ou bien lorsque la validation expèrimentale du modèle est difficile voire impossible (ètudes des premiers instants de l'univers dans le cadre du modèle du Big Bang par exemple). Mais d'ailleurs, ces quelques remarques dèpassent largement le cadre de l'Expèrimentation Virtuelle...




5.9.2-Les erreurs de programmation :

Malheureusement, la liste des difficultès ne s'arrête pas ici ; en effet, la résolution des équations ne peut se faire en toute généralité qu'en recourant à l'utilisation d'un système informatique ; cela implique donc l'écriture d'un programme. Or, les programmes constituent certainement la classe des objets les plus complexes que l'homme conçoive et développe aujourd'hui ; il n'est pas rare de construire actuellement des logiciels de plusieurs millions d'instructions (voire beaucoup plus...) impliquant de nombreux intervenants, sur de très longues périodes. Même, si en général les logiciels scientifiques n'atteignent pas ces sommets, ils restent souvent des édifices relativement instables, construits parfois avec une rigueur et une méthode discutables, et ou peuvent subsister, même après les tests, un certain nombre d'erreurs. Il est possible d'espérer en réduire le nombre à l'aide d'outils d'aide au développement [27] incluant, par exemple, des langages de plus haut niveau que ne l'est l'incontournable Fortran, surtout plus proches du problème traité et ou une séparation nette serait établie entre la description de l'objet étudié et la (ou les) méthode(s) de résolution utilisée(s). Malheureusement, aucune certitude n'existe aujourd'hui quant à la possibilité de pouvoir réaliser un jour des logiciels parfaitement fiables...




5.9.3-Les erreurs de calcul :

L'image pourra aider à déceler et à localiser les erreurs de modélisation et de programmation ; mais la liste des difficultés n'est pas close, et il est des erreurs qui dans l'état actuel de nos connaissances et de nos techniques semblent inévitables : il s'agit des erreurs d'arrondi causées par la précision forcément limitée des ordinateurs, et de l'importance que celles-ci prennent dans l'étude de certains problèmes. Les méthodes de résolution utilisées reposent pratiquement toutes sur le principe de l'itération : connaissant les conditions initiales (à l'instant t=0), l'état du système est calculé à l'instant suivant (t=1), et plus généralement, l'état du système à l'instant t+1 est calculé à partir de celui qu'il avait à l'instant t ; le passage d'un instant au suivant se faisant en répétant inlassablement les mêmes opérations. Des erreurs commises au cours de ces calculs pourront donc se propager d'étape en étape, et dans le cas des problèmes non linéaires [40], plutôt que de rester minimes, elles pourront se voir amplifiées au cours du temps, jusqu'à devenir prépondérantes, auquel cas les valeurs calculées n'auront plus aucune signfication ! Voici donc une nouvelle raison de renoncer au rêve de Laplace... De plus, les erreurs d'arrondi faisant perdre à la multiplication des nombres sa propriété d'associativité [41], les résultats obtenus dépendront alors du type d'ordinateur utilisé, de l'ordre des opérations imposées par le programmeur (influence du parenthésage en particulier [42][43]), et de la façon de générer le code exécutable par le compilateur référencé (voir la figure 082). Au sujet des nombres, une remarque essentielle s'impose : les mathématiques utiles dans ce contexte reposent principalement sur les nombres réels [44] ; malheureusement, un ordinateur ne sait manipuler en toute généralité qu'un sous-ensemble fini de nombres rationnels (qui n'a d'ailleurs pas la propriété d'être ce que les mathématiciens appellent un corps, puisque les erreurs d'arrondi font que les résultats des opérations arithmétiques ne sont en général pas représentables de façon exacte...). Les nombres réels R étant beaucoup plus nombreux que les nombres rationnels Q et a fortiori que les éléments d'un sous-ensemble fini de Q (rappelons que Q est dénombrable, alors que R ne l'est pas), l'ordinateur ne nous permet l'accès qu'à une goutte d'eau dans la mer des nombres. Or, des résultats théoriques récents, tel le théorème KAM [45], montrent que les manifestations les plus intéressantes peuvent se rencontrer là où précisemment l'ordinateur ne peut nous emmener. Peut-on alors vraiment prétendre étudier des systèmes reposant sur les nombres réels avec un outil qui ne sait ni les représenter, ni les manipuler ?

Figure 082 : Les figures 014, 015 et 016 nous ont déjà présenté l'attracteur de Lorenz. Il s'agit, rappelons-le, d'un système dynamique dit sensible aux conditions initiales. Mais il est aussi particulièrement sensible à la précision des calculs. L'expérience présentée ici montre seize images extraites d'un film visualisant la trajectoire du système dans l'espace des phases (x,y,z). Le calcul est réalisé simultanément sur trois ordinateurs différents à l'aide du même programme ; à chacun d'entre-eux est associée l'une des trois couleurs fondamentales :


• IBM RS6000 --> ROUGE
• IBM ES9000 --> VERT
• Silicon Graphics INDIGO XS24 --> BLEU

Ainsi que le montre clairement ces images, au début des calculs (jusqu'à l'instant 4700 approximativement) les trois ordinateurs donnent des résultats concordants (les points matérialisant la position du système sont alors blancs, parce qu'étant la superposition presque parfaite de points rouges, verts et bleus respectivement), puis progressivement, le Vert et le couple Rouge-Bleu se séparent (aux environs de l'instant 4980), puis enfin le Rouge et le Bleu s'échappent l'un de l'autre (aux environs de l'instant 5040). Ainsi, au bout d'un temps relativement court, les trois machines prédisent chacune un avenir particulier pour le système ; les résultats sont parfaitement contradictoires (une bonne partie du temps, ils sont à l'opposé les uns des autres dans l'espace des phases) et aucun d'entre eux n'est le bon... Ce phénomène est dû aux erreurs d'arrondi, les trois ordinateurs (constitués, rappelons-le, de matériels et de logiciels) manipulant les nombres "flottants" chacun à sa façon (les différences portant, de manières non exclusives l'une de l'autre, sur les unités de calcul, sur le format des nombres et sur l'ordre des opérations). De très nombreux systèmes exploités en recherche fondamentale, mais aussi dans l'industrie, reposent sur des calculs d'un type similaire à ceux qui sont ici mis en œuvre ; il est donc essentiel de se prémunir contre ce type d'erreur (nous proposons une méthode, dite de réordonnancement des expressions arithmétiques, qui permet de détecter les modèles numériques sensibles à la précision des calculs [42][43]).




5.9.4-Les erreurs de représentation :

De plus, s'il est évident qu'il n'est pas d'outil neutre, malheureusement, l'image synthétique, dans ce contexte est bien trop souvent considérée comme tel, et l'usage qui en est fait confond bien souvent l'esthétique et l'informatif ; il est facile de trouver dans la littérature scientifique une foule d'images très colorées (et donc perçues bien souvent comme très belles par leurs auteurs) et dont l'examen attentif soulevé une foule de questions, et par exemple celle-ci qui revient le plus fréquemment : telle couleur utilisée de façon périodique est-elle associée à une grandeur possédant elle-aussi cette caractéristique ? Rappelons que l'image produite dans ce contexte est généralement arbitraire, et qu'en réalité, à partir d'un même ensemble de données, une grande quantité de représentations très différentes pourront être imaginées et construites. D'autre part, l'œil est sujet à des illusions d'optique [33], bien connues, mais trop souvent oubliées... Il est possible d'en distinguer quatre classes, chacune responsable de défauts d'appréciation :


• les illusions géométriques qui induisent des déformations purement subjectives lors de la perception de formes a priori "parfaites",
• les illusions de luminance, principalement dûes à l'absence de référence absolue, et qui interdisent la comparaison qualitative des luminances de deux points éloignés et appartenant à notre champ visuel,
• les illusions de chrominance, liées à des influences de voisinage, et qui provoquent des distorsions locales des couleurs perçues, et enfin,
• les illusions informatiques.

Si les trois premières classes d'illusions n'ont pas eu à attendre l'informatique pour être reconnues, la dernière est, quant à elle, beaucoup plus récente et doit son origine à la notion de fausse couleur. La plupart des systèmes de visualisation offre en effet la possibilité de colorier et recolorier une image. Et c'est là l'un des dangers les plus importants, mais aussi le plus méconnu ou le plus sous-estimé... La figure 083 présente un exemple qui a l'avantage de la simplicité et fait abstraction de toute considération physique. Il est montré ici à l'aide de quatre palettes différentes, chacune permettant de tirer quelques conclusions, malheureusement incompatibles entre elles, quant à la structure sous-jacente. Alors, dans ces conditions, quelle est la seule et unique visualisation de ce champ arbitraire ? La réponse est claire : elle n'existe pas, et aucune n'est complète. Malheureusement, l'expérience quotidienne montre que de tels mauvais usages sont faits de la couleur. Des considérations précédentes, il est alors possible de tirer un certain nombre de leçons : la première est, qu'en règle générale, il n'est pas de mode de représentation a priori, et qu'en fait, plusieurs, seront nécessaires afin d'éviter des erreurs d'interprétation ou d'appréhender divers aspects complémentaires des "objets" représentés. Ici donc, comme en mécanique quantique, un principe de complémentarité s'impose... La seconde leçon est que, contrairement à une croyance assez répandue, la visualisation, et en particulier celle de résultats issus de modèles numériques, est un "art". Cet art "nouveau" devra accepter humblement les conseils issus des pratiques plus ancestrales ; en particulier des proportions harmonieuses peuvent être données aux images en s'inspirant du nombre d'or, ou encore des suggestions peuvent être formulées afin de guider le choix des couleurs [46][47].

Figure 083 : Un même ensemble bidimensionnel de valeurs numériques nous est montré ici à l'aide de quatre palettes différentes, mais insistons lourdement sur le fait que les valeurs numériques, elles, restent strictement inchangées (pour faire une analogie suggestive, l'opération ici réalisée est identique à celle qui consisterait à changer quatre fois la couleur d'une même voiture). Chacun de ces jeux de couleurs permet de tirer quelques conclusions quant à la structure sous-jacente (à titre d'excercice le lecteur pourra essayer de deviner quelles sont les valeurs cachées derrière ces bandes de couleur...) ; malheureusement elles sont incompatibles entre elles : par exemple, sur les deux vignettes du bas, le champ semble uniforme horizontalement, alors que les deux vignettes du haut montrent des discontinuités dans la même direction !

                              x
                    x --> ---------
                            2    2
                           x  + y

                              -y
                    y --> ---------
                            2    2
                           x  + y